距離空間同相な位相空間距離入る正ければ証明間違っていれば

距離空間同相な位相空間距離入る正ければ証明間違っていれば

18 3月, 2021

距離空間同相な位相空間距離入る正ければ証明間違っていれば。正しいですが,もっと一般に以下が成り立ちます。「距離空間同相な位相空間距離入る」正ければ証明、間違っていれば反例

正しいですが,もっと一般に以下が成り立ちます.PropositionX,d:距離空間 , Y:集合.ある単射写像f:Y→Xが存在する?Yには距離空間の構造が入る.ProofD:Y×Y→?を,Dy?,y?:=dfy?,fy?と定める.fはXへの写像,dは?への写像なので,Dは写像としてwell-defined.これが距離関数の公理を満たすことを示す.1y?,y?∈Yとすると,Dy?,y?=dfy?,fy?≥0. ∵d:距離関数y?,y?∈Yについて,Dy?,y?=0?dfy?,fy?=0?fy?=fy? ∵d:距離関数?y?=y?. ∵f:単射2y?,y?∈Yとすると,Dy?,y?=dfy?,fy?=dfy?,fy? ∵d:距離関数=Dy?,y?.3y?,y?,y?∈Yとすると,Dy?,y?=dfy?,fy?≤dfy?,fy?+dfy?,fy? ∵d:距離関数=Dy?,y?+Dy?,y?.以上で示せた.よって,Yは写像Dにより距離空間となる.?「距離空間と同相な位相空間には距離が入る」については,位相空間なら集合であり,同相写像は単射写像なので,上で示したPropositionが使えます.

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